Архимед (ок. 287-212 гг. до н.э.)
 Об Архимеде - великом математике и механике - известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего достоверен год его смерти - год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата. Впрочем, историки древности Полибий, Ливии, Плутарх мало рассказывали о его математических заслугах, от них до наших времен дошли сведения о чудесных изобретениях ученого, сделанных во время службы у царя Гие-рона II. Известна история о золотом венце царя. Чистоту его состава Архимед проверил при помощи найденного им закона выталкивающей силы, и его возгласе «Эврика!», т.е. «Нашел!». Другая легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль «Сирахоеия», Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю».
Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился при осаде Сиракуз, богатого торгового города на острове Сицилия.
Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами, в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал (в некоторых рассказах -щитов) поджигали корабли. В «Истории Марцелла» Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов: «Как только они замечали, что из-за крепостной стены показывается веревка или бревно, они обращались в бегство с криком, что вот Архимед еще выдумал новую машину на их погибель».
Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда (см. Спирали), описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Следующая кинематически определенная кривая-циклоида-появилась только в XVII в. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2:3 (см. Вписанные и описанные фигуры). Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга (см. Знаменитые задачи древности). Ученый вычислил отношение длины окружности к диаметру (число П) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.
Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.
Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. В математике это был первый пример бесконечного ряда.
Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит»-«О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа. В качестве повода для своих рассуждений он использует задачу о подсчете количества песчинок внутри видимой Вселенной. Тем самым было опровергнуто существовавшее тогда мнение о наличии таинственных «самых больших чисел».
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
 Математические вычисления заменили Гауссу обычные детские игры. Он делил единицу на все простые числа р из первой тысячи подряд, подмечая, что десятичные знаки рано или поздно начинают повторяться. Рассмотрев большое количество примеров, Гаусс доказал, что число цифр в периоде не превосходит р — 1 и всегда является делителем р — 1. Он интересовался случаями, когда период в точности равен р — 1, и это постепенно привело его к первому открытию.
Ученый доказал, что правильный n-угольник, где n —число простое, может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда п имеет вид 22 + 1. Например, если k = О, 1, 2, 3, то правильные трех-, пяти-, семнадцати- и 257-угольники можно построить циркулем и линейкой, а семиугольник -нельзя. Еще древние математики (в их числе Архимед) умели строить циркулем и линейкой правильные n-угольники при п = 3, 4, 5, 6 и вообще при п = 2"; 2"*3; 2"*5; 2**15, и только такие. Ученые безуспешно пытались построить правильный семиугольник, девятиугольник. А Гаусс дал полное решение проблемы, над которой трудились ученые в течение 2 тыс. лет.
С этого момента девятнадцатилетний Гаусс окончательно решил заниматься математикой (до этого он не мог сделать выбор между математикой и филологией). И всего через 9 дней в его дневнике появляется запись о втором открытии. Гаусс доказал так называемый квадратичный закон взаимности-один из основных в теории чисел. Этот закон открыл еще Л. Эйлер, но доказать его не смог.
С именем К.Ф. Гаусса связаны многие замечательные страницы в истории математики. Он дал доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень). Гаусс создал теорию поверхностей. До него были изучены геометрии только на двух поверхностях: на плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере (сферическая геометрия). Гаусс нашел способ построения геометрии на любой поверхности, определил, какие линии играют на поверхности роль прямых, как мерить расстояния между точками на поверхности и т.д. Теория Гаусса получила название внутренней геометрии. Он не опубликовал своих работ по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Эти результаты были открыты заново его младшими современниками: русским математиком Н.И. Лобачевским и венгерским математиком Я. Больяй-в первом случае и норвежским математиком Г. X. Абелем и немецким математиком К. Г. Якоби - во втором.
Гаусс занимался также астрономией, электромагнетизмом. Ему удалось вычислить орбиту малой планеты (астероида) Цереры. Решение этой сложной задачи принесло ученому известность, и он был приглашен заведовать кафедрой математики и астрономии, с которой была связана должность директора Гет-тингенской обсерватории. Этот пост Гаусс не покидал до конца жизни. Результаты своих исследований по астрономии Гаусс объединил в фундаментальном труде «Теория движения небесных тел».
Леонард Эйлер (1707-1783)
 Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.
Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ-первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.
В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема), Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.
Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих п, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.
Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула е" = cosx + isinx, устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.
Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.
В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку-топологию.
Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В — Р + Г = 2.
Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только материальной точки или твердой пластины.
Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.
Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.
Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.
|